Provided by **Han Jicheng 计43**

#### 选择

#### 判断

#### 填空

1. $\bigcup \{\bigcup 2025,\bigcup\{2025\}\}$

2. $n=4$ 上良序关系个数、相容关系个数、等价关系个数。

3. Skolem标准型，要求变量最少。

#### 解答与证明
1. 三角形上每一个点染上黑色或白色，要求每条边上两个端点颜色不一样。请将该问题形式化，列出真值表，解答。

2. 一道谓词逻辑推理，先形式化，用归结或推理。

3. 命题形式化：每个程序，通过所有测试样例或者只有一个测试样例错误，才算通过测试。
   命题形式化：每个学生有且只有一个导师，且该导师要么是男性、要么是女性。

   给出了所有谓词的定义。

4. 证明$A\Rightarrow B$，用$A\to B$永真**和**$A\wedge \neg B$矛盾两种方法证明。

5. $|A|=n$，$\langle P(A),\subseteq\rangle，$
   （1）画出$n=3$时的哈斯图，并求极大元、极小元、最大元、最小元。
   （2）$S,T\in P(A)$，$S$，$T$在哈斯图上的沿哈斯图的边从$S$走到$T$最短距离是多少？设每一条边的长度为1 。
   （3）哈斯图的边数，用$n$表示。

6. 容斥原理：$x_1+x_2+x_3=15$ $0 \leq x_1 \leq 5$ $0 \leq x_2 \leq 6$ $0 \leq x_3 \leq 7$的非负整数解
   给出没有限制的非负整数解公式。

   (1)求解$x\geq 6$的情况。

   (2)基于上一问求解原问题。

7. 黎曼函数$R$：
   (1) $ran(R)，R^{-1}[\{0\}]，R^{-1}[(0,1/4)]$
   (2) 计算的势
   (3) $ran(R)$与$\Z$之间的双射函数

8. 罗素：证明$(P\wedge \neg Q)\to (\neg P\vee (Q\vee R))$
   可以使用书上的公理、定义与定理