% UTF-8 encoding % Compile with latex+dvipdfmx, pdflatex, xelatex or lualatex \documentclass[hyperref, UTF8]{ctexart} \usepackage{graphicx} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{subfigure} \usepackage{geometry} \usepackage{caption} \title{离散数学——第一周作业} \author{计83 刘轩奇 2018011025} \date{2019.09.20} \geometry{left=2.0cm, right=2.0cm, top=2.5cm, bottom=2.5cm} \linespread{0.7} \begin{document} \maketitle \paragraph{1.1}\label{1.1} 判断下列语句是否是命题，并对命题确定其真值。\\ \quad (1) 火星上有声明存在。 \\ \quad (3) 香山比华山高。\\ \quad (5) 这盆茉莉花真香！\\ \quad (7) 这句话是错的。\\ \paragraph{答} (1) 是命题。但真值尚未确定。(3) 是命题，真值为假。(5) 不是命题。感叹句不是命题。(7) 不是命题。悖论不是命题。 \paragraph{1.2}\label{1.2} $P$表示今天很冷，$Q$表示正在下雪。\\ \quad (1) 将下列命题符号化：\\ \qquad 如果正在下雪，那么今天很冷。\\ \qquad 今天很冷当且仅当正在下雪。\\ \qquad 正在下雪的必要条件是今天很冷。\\ \quad (2) 用自然语句叙述下列公式：\\ \qquad $$\lnot(P\lor Q), \lnot P \land \lnot Q, P \to Q, \lnot P \lor Q, \lnot \lnot P, \lnot P \leftrightarrow Q. $$ \paragraph{答} \subparagraph{(1)} $Q\to P, P \leftrightarrow Q, Q\to P.$ \subparagraph{(2)} 今天很冷与正在下雪两件事不同时发生； 今天不冷或没在下雪； 如果今天很冷，则正在下雪； 今天不冷或正在下雪； 今天并非不冷； 今天不冷当且仅当正在下雪。 \paragraph{1.3}\label{1.3} 对下列公式直观叙述在什么样的解释下为真，并列写出真值表来验证。\\ \quad (1) $ \lnot (P \lor Q), \lnot P \land Q, \lnot (P \land Q). $ \\ \quad (3) $ (P \to Q) \land (P \leftrightarrow Q). $ \\ \quad (5) $ P \to (Q \to R), P \land Q \to R.$ \\ \paragraph{解} \subparagraph{(1)} $\lnot (P \lor Q)$和$ \lnot P \land Q$仅在$P$与$Q$均为$0$时真值为$1$。 $\lnot (P \land Q)$只需$P, Q$中有一个为$0$，真值即为$1$。真值表如表 1.3(1) 所示。 \begin{table}[!htb] \centering \begin{tabular}{ccccc} $P$ & $Q$ & $\lnot(P \lor Q)$ & $\lnot P \land \lnot Q$ & $\lnot (P \land Q)$ \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{tabular} \caption*{表 1.3 (1)} \end{table} \subparagraph{(3)}仅当$P$假$Q$真时，公式真值为$1$。真值表如表 1.3(3) 所示。 \begin{table}[!htb] \centering \begin{tabular}{ccc} $P$ & $Q$ & $(P\to Q)\land \lnot (P \leftrightarrow Q)$ \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{tabular} \caption*{表 1.3 (3)} \end{table} \subparagraph{(5)}上述公式仅在$P=Q=1, R=0$时真值为$0$，否则为$1$。真值表如图 1.3(5) 所示。 \begin{table}[!htb] \centering \begin{tabular}{ccccc} $P$ & $Q$ & $R$ & $P \to (Q \to R)$ & $P \land Q \to R$ \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{tabular} \caption*{表 1.3 (5)} \end{table} \paragraph{1.4}\label{1.4} 下列公式哪个是重言式，永假式和可满足的，并用代入规则（对重言式）或真值表来验证。\\ \quad (1) $P \to P$. \\ \quad (3) $(Q\to R)\to((P\lor Q)\to (P \lor R)).$ \\ \quad (5) $(P \to Q) \to (\lnot Q \to \lnot P).$ \\ \paragraph{解} \subparagraph{(1)} 该公式是重言式。 \subparagraph{(3)} 该公式是重言式。真值表如表 1.4(3) 所示。 \begin{table}[!htb] \centering \begin{tabular}{ccccccccc} $P$ & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ $Q$ & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ $R$ & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ $P \lor Q$ & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ $P \lor R$ & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ $(P \lor Q) \to (P \lor R)$ & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ $Q \to R$ & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ $(Q \to R) \to ((P \lor Q) \to (P \lor R))$ & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{tabular} \caption*{表 1.4 (3)} \end{table} \subparagraph{(5)} 该公式是重言式。真值表如表 1.4(5) 所示。 \begin{table}[!htb] \centering \begin{tabular}{ccccc} $P$ & 0 & 0 & 1 & 1 \\ $Q$ & 0 & 1 & 0 & 1 \\ $P \to Q$ & 1 & 1 & 0 & 1 \\ $\lnot Q \to \lnot P$ & 1 & 1 & 0 & 1 \\ $(P \to Q) \to (\lnot Q \to \lnot P)$ & 1 & 1 & 1 & 1 \end{tabular} \caption*{表 1.4 (5)} \end{table} \paragraph{1.5}\label{1.5} 形式化下列自然语句。\\ \quad (1) 他个子高而且很胖。 \\ \quad (3) 并非“他个子高或很胖”。\\ \quad (5) 他个子高或者他个子矮而很胖。\\ \quad (7) 如果水是清的，那么或者张三能见到池底或者他是个近视眼。\\ \paragraph{解} \subparagraph{(1)}$P\land Q. $ 其中$P: $他很高；$Q: $他很胖。 \subparagraph{(3)}$\lnot (P \lor Q).$ 定义同上。 \subparagraph{(5)}$P \lor (\lnot P \land Q).$ 定义同上。 \subparagraph{(7)}$P\to (Q \land R).$ 其中$P: $水是清的；$Q: $张三能看到池底；$R: $张三是近视眼。 \end{document}