>> A=[4, 0, 0;
      4, 5, 5;
      2, 5, 5];
>> [Q, R]=qr(A)

Q =

   -0.6667    0.6667    0.3333
   -0.6667   -0.3333   -0.6667
   -0.3333   -0.6667    0.6667


R =

    -6    -5    -5
     0    -5    -5
     0     0     0

>> A= rand(2000);
>> tic; [Q, R]= qr(A); toc
Elapsed time is 1.051003 seconds.
>> 
>> 
>> 
>> spy(R)
>> tic; X= qr(A); toc
Elapsed time is 0.512458 seconds.
>> spy(X)
>> isequal(triu(X), R)

ans =

     1

>> [Q, R]= qr(rand(4));
>> A=Q*diag([4 3 2 1])*Q'

A =

    3.0893    0.5155    0.5189    0.2873
    0.5155    2.3313   -0.0149   -0.0722
    0.5189   -0.0149    2.4971    1.2656
    0.2873   -0.0722    1.2656    2.0823

>> B= A;
>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    3.4554    0.2719    0.6051   -0.1157
    0.2719    2.2388   -0.3170    0.0868
    0.6051   -0.3170    3.1596   -0.5604
   -0.1157    0.0868   -0.5604    1.1462

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    3.6872    0.0106    0.5287    0.0339
    0.0106    2.3735   -0.5320   -0.0456
    0.5287   -0.5320    2.9244    0.1692
    0.0339   -0.0456    0.1692    1.0149

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    3.8208   -0.1554    0.3765   -0.0091
   -0.1554    2.6203   -0.5722    0.0186
    0.3765   -0.5722    2.5570   -0.0530
   -0.0091    0.0186   -0.0530    1.0018

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    3.8972   -0.2114    0.2295    0.0024
   -0.2114    2.8219   -0.4751   -0.0067
    0.2295   -0.4751    2.2806    0.0190
    0.0024   -0.0067    0.0190    1.0003

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    3.9412   -0.2016    0.1267   -0.0006
   -0.2016    2.9306   -0.3435    0.0023
    0.1267   -0.3435    2.1282   -0.0078
   -0.0006    0.0023   -0.0078    1.0001

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    3.9665   -0.1683    0.0665    0.0002
   -0.1683    2.9771   -0.2341   -0.0008
    0.0665   -0.2341    2.0564    0.0036
    0.0002   -0.0008    0.0036    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    3.9810   -0.1327    0.0340   -0.0000
   -0.1327    2.9944   -0.1564    0.0002
    0.0340   -0.1564    2.0247   -0.0017
   -0.0000    0.0002   -0.0017    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    3.9892   -0.1019    0.0172    0.0000
   -0.1019    3.0000   -0.1039   -0.0001
    0.0172   -0.1039    2.0108    0.0008
    0.0000   -0.0001    0.0008    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    3.9939   -0.0773    0.0086   -0.0000
   -0.0773    3.0013   -0.0690    0.0000
    0.0086   -0.0690    2.0048   -0.0004
   -0.0000    0.0000   -0.0004    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    3.9966   -0.0583    0.0043    0.0000
   -0.0583    3.0013   -0.0459   -0.0000
    0.0043   -0.0459    2.0021    0.0002
    0.0000   -0.0000    0.0002    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    3.9981   -0.0438    0.0022   -0.0000
   -0.0438    3.0010   -0.0305    0.0000
    0.0022   -0.0305    2.0009   -0.0001
   -0.0000    0.0000   -0.0001    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    3.9989   -0.0329    0.0011    0.0000
   -0.0329    3.0007   -0.0203   -0.0000
    0.0011   -0.0203    2.0004    0.0001
    0.0000   -0.0000    0.0001    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    3.9994   -0.0247    0.0005   -0.0000
   -0.0247    3.0004   -0.0135    0.0000
    0.0005   -0.0135    2.0002   -0.0000
   -0.0000    0.0000   -0.0000    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    3.9997   -0.0185    0.0003    0.0000
   -0.0185    3.0003   -0.0090   -0.0000
    0.0003   -0.0090    2.0001    0.0000
    0.0000   -0.0000    0.0000    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    3.9998   -0.0139    0.0001   -0.0000
   -0.0139    3.0002   -0.0060    0.0000
    0.0001   -0.0060    2.0000   -0.0000
   -0.0000    0.0000   -0.0000    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    3.9999   -0.0104    0.0001    0.0000
   -0.0104    3.0001   -0.0040   -0.0000
    0.0001   -0.0040    2.0000    0.0000
    0.0000   -0.0000    0.0000    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    3.9999   -0.0078    0.0000   -0.0000
   -0.0078    3.0001   -0.0027    0.0000
    0.0000   -0.0027    2.0000   -0.0000
   -0.0000    0.0000   -0.0000    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    4.0000   -0.0059    0.0000    0.0000
   -0.0059    3.0000   -0.0018   -0.0000
    0.0000   -0.0018    2.0000    0.0000
    0.0000   -0.0000    0.0000    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    4.0000   -0.0044    0.0000   -0.0000
   -0.0044    3.0000   -0.0012    0.0000
    0.0000   -0.0012    2.0000   -0.0000
   -0.0000    0.0000   -0.0000    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    4.0000   -0.0033    0.0000    0.0000
   -0.0033    3.0000   -0.0008   -0.0000
    0.0000   -0.0008    2.0000    0.0000
    0.0000   -0.0000    0.0000    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    4.0000   -0.0025    0.0000   -0.0000
   -0.0025    3.0000   -0.0005    0.0000
    0.0000   -0.0005    2.0000   -0.0000
   -0.0000    0.0000   -0.0000    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    4.0000   -0.0019    0.0000    0.0000
   -0.0019    3.0000   -0.0004   -0.0000
    0.0000   -0.0004    2.0000    0.0000
    0.0000   -0.0000    0.0000    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    4.0000   -0.0014    0.0000   -0.0000
   -0.0014    3.0000   -0.0002    0.0000
    0.0000   -0.0002    2.0000   -0.0000
   -0.0000    0.0000   -0.0000    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    4.0000   -0.0010    0.0000    0.0000
   -0.0010    3.0000   -0.0002   -0.0000
    0.0000   -0.0002    2.0000    0.0000
    0.0000   -0.0000    0.0000    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    4.0000   -0.0008    0.0000   -0.0000
   -0.0008    3.0000   -0.0001    0.0000
    0.0000   -0.0001    2.0000   -0.0000
   -0.0000    0.0000   -0.0000    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    4.0000   -0.0006    0.0000    0.0000
   -0.0006    3.0000   -0.0001   -0.0000
    0.0000   -0.0001    2.0000    0.0000
    0.0000   -0.0000    0.0000    1.0000

>> [Q R]= qr(B); B=R*Q

B =

    4.0000   -0.0004    0.0000   -0.0000
   -0.0004    3.0000   -0.0000    0.0000
    0.0000   -0.0000    2.0000   -0.0000
   -0.0000    0.0000   -0.0000    1.0000

>> B=A;
>> s=B(4,4); [Q, R]=qr(B-s*eye(4)); B=R*Q+s*eye(4)

B =

    3.7928   -0.3631   -0.1922    0.1066
   -0.3631    3.1017    0.1898   -0.2739
   -0.1922    0.1898    1.1401   -0.3530
    0.1066   -0.2739   -0.3530    1.9655

>> s=B(4,4); [Q, R]=qr(B-s*eye(4)); B=R*Q+s*eye(4)

B =

    3.9379   -0.2368    0.0763   -0.0022
   -0.2368    3.0595   -0.0397    0.0084
    0.0763   -0.0397    1.0027   -0.0131
   -0.0022    0.0084   -0.0131    1.9999

>> s=B(4,4); [Q, R]=qr(B-s*eye(4)); B=R*Q+s*eye(4)

B =

    3.9837   -0.1242   -0.0391    0.0000
   -0.1242    3.0155    0.0248   -0.0000
   -0.0391    0.0248    1.0008   -0.0000
    0.0000   -0.0000   -0.0000    2.0000

>> [A b]= load_equ('cooA.txt', 'b.txt');
>> spy(A)
>> D=eigs(A)

D =

   1.0e+03 *

    3.3681
    3.3605
    3.2111
    3.2110
    3.2084
    3.1970

>> eiggui