# 2026春 姚国武老师期末考试（总分75分）

一、填空题（每题3分，共18分）
1. 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \sin{\frac{i}{n}} z^n$ 在 $z = e^{\frac{i \pi}{4}}$ 处的敛散性_____（填入发散或具体收敛类型）
2. 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n(n - 1)z^{n-1}$ 的和函数_____
3. 求级数 $\sum_{n=- \infty}^{+ \infty} 5^{n^2}z^{n^2 - 2n}$ 的收敛圆环域_____
4. 已知 $f(z) = \cos{(iz)} e^{|z|^2}$ 求 $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}|_{z=i \pi} = f_{\overline{z}}(i \pi) = $_____
5. 已知 $u(x, y) = 6^x \cos{(py)}$ 是实数域上的调和函数，求 $p$ 的值_____
6. 求 $\ln(1 - z^3)$ 在 $z = 0$ 处的2025阶导数_____

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二、（10分）
$$f(z) = \frac{1}{(3z^3 + 1)^2}$$
对$f(z)$在 $\frac{1}{\sqrt{2}} < |z| < \sqrt{2}$ 圆环域上进行Laurent展开（要求写出各项系数的具体表达式）

三、（12分）
$$f(z) = z\cos{\frac{z}{z - 1}} + \frac{1}{z} - \frac{1}{\sin{z}}$$
1) 给出 $f(z)$ 在扩充复平面 $\overline{\mathbb{C}}$ 上的各奇点及其类型，并说明原因
2) 令 $f(z)$ 在 $0 < |z - 1| < 1$ 上的Laurent展开式为 $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n (z - 1)^n$，求 $c_{-2025}$
3) 在 $f(z)$ 的所有非可去奇点的孤立奇点处求留数

四、
用留数方法计算积分
$$I = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos^2 {x}}{x^2 - 4x + 5} dx$$

五、
计算
$$\oint_{|z|=2} \frac{z^2\sin{\frac{1}{z}}}{(z - 1)(z - 3)} dz$$

六、（13分）
复数域上椭圆区域 $D = \{z = x + iy | \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} < 1\}$ ， $T = D \setminus \{1\}$, $D$ 上函数 $w = f(z) = u + iv$ 满足：
i) $f(z)$ 在 $T$ 上解析， $z = 1$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点
ii) $|u| \leq 2|v| \leq 2$ ，对 $\forall f(z)$
iii) $\lim_{z \to 1} |f(z)| = \sqrt{5}$

1) $K$ 为满足以上条件的函数集合，写出 $K$ 的具体形式
2) 证明你的结论是正确的