### YGW2025春季复变函数期末考试 (第一场)

### 一、 填空题 

***注: 顺序和叙述细节不保证一致***

1. $0$ 是 $\dfrac{1}{e^z - 1} + \dfrac{1}{z} + \exp \left(\dfrac{z}{z-1}\right)$ 的  (填奇点类型).
2. $\ln^{(2025)} (1-z^3) = $  .
3. $f(z) = \sin(\text{i}z+ 1) \cos(|z|^2 +1)$，求 $\dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}} \big|_{z=\text{i} \pi}$
4. $\text{Res}(z \cos \dfrac{z}{z-2}, \infty) = $  .
5. 级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{z^{2n}}{\sqrt n 6^n}$ 在 $2 - \sqrt 2 \text{i}$ 处收敛类型为 ____.
6. $\text{i}^\pi =$  ____ .
7. 级数 $\displaystyle \sum_{n = -\infty}^{n=+\infty} \dfrac{n^2}{2^{|n|}}z^{2n}$ 的收敛圆环域为 ____.

### 二、

用留数定理计算积分 $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{\text{d}x}{x^4 + 16}$

### 三、

用留数定理计算积分 $$\displaystyle \int_0^{2\pi} \dfrac{\cos 2025 \theta}{1+p^2 -2p \cos \theta} \text{d} \theta$$

### 四、

设整函数 $$f(x,y) = u(xy) + \text{i} v(x,y)$$，且 $f(1) = 1, f(\text{i}) = 1+ \text{i}$.  求$f(z)$ 的表达式.

### 五、

考虑级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{n^2+1}{n! 2^n} z^n$

1. 求收敛半径;
2. 求和函数.

### 六、

设 $A = \{z | |z| < \dfrac{1}{3}\}$, 函数 $f(z), g(z)$ 在 $A$ 上解析, 且满足 $$(1+e^{\text{i} z}) f^2 -(1+e^{\text{i}z}) fg + ze^{\text{i}z} f + zg = z^2$$

1. 求 $f$ 的所有可能解;
2. 给出 $f$ 的最大解析区域;
3. 证明 (1) 中的结论.