## 史灵生 2025春 概率论与数理统计
考试分为I卷和II卷，各50分，I卷含8道填空，3道大题（难度和填空题差不多），以基础概念为主。下面是II卷，含4道大题。
一、设随机变量$Y\sim U(0,2)$，
$$
X=\begin{cases} Y, & Y\ge 1 \\ 
0, & Y<1 
\end{cases}
$$
求$X$的分布函数和期望。
二、设随机变量$X,Y,Z \overset{\text{i.i.d.}}{\sim}N(0,1),V=X-Y+Z.$
求$(X,V)$的联合分布及$\mathbb{E}(X|V).$
三、设随机变量$(X,Y)$的联合密度函数$p(x,y)=ce^{-x-y},0<x<y.$
1. 求$c$.
2. 设$Z=Y-X$，求$(X,Z)$的联合密度函数.
3. $X$和$Z$是否相互独立？

四、设随机变量$X_1,X_2, \ldots ,X_n \overset{\text{i.i.d.}}{\sim}N(0,\sigma^2)$
1. 求$\sigma^2$的最大似然估计$\hat{\sigma}^2$.
2. 讨论$\hat{\sigma}^2$的相合性与无偏性.
3. 基于$\hat{\sigma}^2$构造$\sigma^2$的枢轴量，并给出$\sigma^2$置信水平为$1-\alpha$的置信区间.