总体来说难度不高，计算量也不太大，简单的小题居多。
# 题目

## 一、填空
10道 3x10：很简单，熟悉基本的概率、期望、分布即，也没计算量（记不起来了）

最难的一道：
**（10）** 进行 $n$ 次成功率为 $\frac{1}{3}$ 的 Bernoulli 实验，成功奇数次的概率为？

## 二、计算
3 道：4+4+10

**1.** $X_1$，$X_2$ 服从 $\lambda=2$ 泊松分布，设 $Y=2X_1+X_2$，$Z=X_2-2X_1$，求：
1. $Y$，$Z$ 的期望和方差；
2. $\rho(Y,Z)$。

**2.** 置信区间，设 $X\sim N(\mu,1)$, $\mu$ 未知，现在取一 $n=9$ 样本，
1. 求 $92$% 置信度的区间长度；
2. 另取一样本，使得 $96$% 置信度区间长度为 $0.08$，则样本大小至少为？

**3.** 扔一次骰子，设得到的数为 $n$，然后扔 $n$ 次硬币：
1. 求得到 $4$ 个正面的概率；
2. 若得到了 $3$ 个正面，求投骰子得到的数是 $4$ 的概率；

## 三、证明
2 道：6+6
证明题难度不是太大

**1.** 设 $\mathbb{R}$ 上函数 $f$ 满足：
- $f(x)=0$，$x\leq 0$
- $f(x)=1$，$x\geq 1$
$[0,1]$ 上随机变量 $X$ 满足：
- 对于任意 $0\leq x<y\leq 1$，有 $\mathbb{P}(x<X\leq y)=f(y-x)$
证明 $X$ 服从 $[0,1]$ 均匀分布。

**2.** 若 $X_1$ ，$X_2$ 服从单位正态分布且独立，求证 $Y=\frac{X_1}{X_2}$ 服从柯西分布。

## 四、奖励题
6 分
比证明题难一点。

若 $X\sim N(0,1)$，$Y$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布，求证 $Z=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$-分布。

# 思路：

**一、10.**  高中组合题，生成函数代入 $z=\pm 1$。

## 证明题1：
- 先证 $f$ 是 $X$ 的分布函数，得到 $f(y-x)=f(y)-f(x)$，$f$ 在 $[0,1]$ 上具有线性和单调递增性。
- 经典问题，由有理数到任意实数，没有连续性，利用单调性夹逼即可。

## 证明题2：
- 由于 $X_1$，$X_2$ 独立，其联合分布密度函数为各自密度函数之积
- 设 $S=\{(X,Y)\ |\ X/Y\leq t\}$，则 $P(Y\leq t)=P((X_1,X_2)\in S)$
- 使用下面公式，代入 $S$， $$P((X,Y)\in S)=\iint_Sf(u,v){\rm d}u{\rm d}v$$
- 得到含 $t$ 的参数积分 $F(t)$，（可以证明一致收敛）所以可以交换求导次序，求导后可以积出来，而 $F(t)$ 是分布函数，求导就得到了密度函数，得证。

奖励题同理，只是比较复杂。