### 2025春季THY概统期末

***回忆版, 仅供参考***

**注:** 今年的试卷和thy放在网络学堂的往年题 (非常侧重假设检验) **完全正交** !

1. 设随机变量 $X_1\sim N(0,1), X_2\sim N(0,1)$, 且 $X_1, X_2$ 无关, $Y_1 = X_1 + 2X_2+1, Y_2 = X_1 - 2X_2 + 2$.
   
    (1) 求 $(Y_1,Y_2)$ 的分布;

    (2) $E(Y_1|Y_2=4), \text{Var}(Y_1|Y_2=4)$;

    (3) 若 $Y_1,Y_2+aY_2$ 无关，求 $a$.

2. 设某机器每个元件的寿命 $\sim N(100,25^2)$, 元件至少 $k$ 个才能工作.

    (1) 求单个元件至少正常工作 $80$ 小时概率; 

    (2) 整个机器工作正常工作超过 $80$ 小时的概率 $>95\%$，求 $k$ 的最大值.

3. 设某一批商品的次品率为 $\theta$, 抽查 $10$ 个样本有 $3$ 个次品, 设 $\theta$ 先验分布为 $\text{Beta}(3,6)$.

    (1) 求后验分布; 

    (2) 求后验众数估计;

    (3) 求后验均值估计.
 
4. 多项分布 $p_1, p_2, p_3$ 的结果为 $(24, 26, 10)$.
    
    (1) 求最大似然估计 $p_1^{*}, p_2^{*}, p_3^{*}$;

    (2) 检验 $p_1=p_2=p_3$;

    (3) 若$p_1=p_2$, 求 $p=p_1=p_2$的极大似然估计;

    (4) 根据 Fisher 信息量估计 $p^*$ 的SE;

    (5) 计算 $p$ 的 $95\%$ 置信区间.