## 题目 1：

设随机变量
$$
X_1,X_2,\dots,X_n \overset{iid}{\sim} \text{Poisson}(\lambda)
$$
现抽取样本量为 $n=100$，且观测到
$$
\sum_{i=1}^{100}X_i=400
$$
求：

1. 参数 $\lambda$ 的最大似然估计 $\hat{\lambda}$；
2. 单次观测 $X_i$ 中关于参数 $\lambda$ 的 Fisher 信息量 $I_1(\lambda)$；
3. 参数 $\lambda$ 的 95% 双侧置信区间。

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## 题目 2：

设一个人的体重随机变量
$$
X\sim U(55,95)
$$
某电梯限重为 $950$ kg，现有 $12$ 人进入电梯，假设 $12$ 人体重相互独立，且均服从上述均匀分布。

求：

1. 电梯不超重的近似概率；
2. 若规定 $X>85$ kg 的人为“超重”，现在随机抽取 $n$ 人，求超重人数不少于 $m$ 人的近似概率。

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## 题目 3：泊松分布与 Gamma 先验的贝叶斯推断

设
$$
X_1,X_2,\dots,X_n \mid \lambda \overset{iid}{\sim} \text{Poisson}(\lambda)
$$
参数 $\lambda$ 的先验分布为
$$
\lambda\sim \text{Gamma}(a,b)
$$
现观察到 $n=10$ 个样本，并且只知道
$$
\sum_{i=1}^{10}X_i=4
$$
求：

1. 参数 $\lambda$ 的后验分布；
2. $H_0:\lambda=0.5$,$H_1:\lambda=0.1$,求 $BF_{01}$,说明数据证据支持假设 0 还是 1？



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## 题目 4：联合密度、条件密度与变量变换

设随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为
$$
p(x,y)=
\begin{cases}
e^{-y}, & 0<x<y,\\
0, & \text{其他}.
\end{cases}
$$
求：

1. 条件密度 $p(x\mid y)$；
2. 令
$$
Z=Y-X
$$
求 $Z$ 的边缘密度 $p_Z(z)$，并判断随机变量 $Z$ 与 $X$ 是否独立。

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## 题目 5：两参数线性回归

Ordinary，背诵默写讲义